对手风险存在情况下的CDS定价

2022-01-15 19:02分类：活用资金阅读：

与传统的信贷风险区别，名誉衍生物，比如CDS, 牵涉到的是三方，而不光仅是两边的生意业务。这三方包括：

包含名誉风险标的资产的发走方，即 CDS爱怜的对象－用C外示。CDS符切吻契适合约的卖方，即名誉风险承担者－用B外示；CDS符切吻契适合约的买方，即名誉风险迁徙者－用A外示. A不妨持有或不持有C发走的信贷资产（贷款或债券）。

在普通的 CDS定价中，吾们主要考虑的是C的名誉风险。但究竟上，如果CDS符切吻契适合约不是始末核心生意业务对手算帐而是场答酬易的话，符切吻契适合约的买卖方尤其是卖方的信贷风险，对 CDS的定价具有很大的影响。这就是对手风险。这总共念直不益看上也很能理解，比如如果市场上腾讯和安益银走同时挑供阿里巴巴的 CDS，如果安益银走的评级高于腾讯，吾们当然会选择购买安益银走挑供的 CDS，除非腾讯收取的保费更矮。即使二者的名誉评级雷同，吾们依然会选择安益银走，由于行为统一走业的两个公司，腾讯与阿里的违约关系性必然高于安益银走与阿里。在这边，吾们考虑的不光仅是CDS卖方的名誉质量，而且包括二者的违约关联性。本文对此进走了一些量化揣摸。其手法主要从命文末的英文文献。

名誉风险建模普通有机关模型和约化模型两大类。吾们这边采用的是约化模型。这也是大无数学术界和工业界人士青睐的模型，缘故在于其数学处理比较方便，可以比较容易的得到解析解。开头让吾们且则漠视买方也就是A的违约风险。毕竟，行为符切吻契适合约的受保人，只要付的首保费就异国理由违约，而且一旦违约之前交的保费也就付之东流了。云云吾们需求考虑的就只有 B和C。如果他们之间的违约关联始末相互传染机制实现，即：

$\lambda_{t}^{B} = b_{0} + b_{2} 1_{\{\tau^{C} \le t\}}\\ \lambda_{t}^{C} = c_{0} + c_{2} 1_{\{\tau^{B} \le t\}}$

违约强度与违约概率的干系如下：

$P(\tau_{B(C)} < T) = E\left[ e^{- \int_{0}^{T} \lambda^{B(C)}_{t} dt} \right]$

这边 $\lambda_{t}^{B},\lambda_{t}^{C}$ 脱离代外B,C的违约强度。在这一违约框架下，B与 C一方的违约会导致另一方的违约强度发生阶跃，其大小脱离为 $b_{2},c_{2}$ (二者均为大于0的常数）。而在异国违约时二者的违约强度脱离为 $b_{0},c_{0}$ . 严肃这边的关系性是很粗糙的，一方对于另一方违约强度的影响只有在违约（而不是仅仅是违约强度改变）时才能揭示出来，并且影响是一次性的，大小是一个固定的常数。更符切吻契适合理的模型是伪定二者均屈从必定的随机过程，并且始末扩散项的关系性来确立违约的关联性。一个不妨的模型是：

$d\lambda_{t}^{B} = a_B(t, \lambda_{B})dt + \sigma_{B}(t,\lambda_B)dW_{t}^{B}\\ d\lambda_{t}^{C} = a_C(t, \lambda_{C})dt + \sigma_{C}(t,\lambda_C)dW_{t}^{C}\\ [dW_{t}^{B}, dW_{t}^{C}]=\rho dt$

这类模型被深远地操纵于 CVA计算编制中，但实际的计算正常要始末蒙特卡罗完满。吾们这边的简化模型相对而言可以更加方便地得到解析解并且敏捷的得到一些定量培养。

吾们知道，对于一个CDS进走定价需求考虑三个单方(以下伪定 CDS的有效期从0到T）：

保费的贴现值：如果保费的偿付发生在如下的时间： $0 ＝ T_{0} < T_{1} < T_{2} < T_{3} ... < T_{n}=T\\ T{_i+1} - T_{i} = \Delta T, 1 \le i \le n-1$

则保费的贴现值为

$\sum_{i=1}^{n} E\left[ e^{-rT_{i}} S_{T} 1_{\{ \tau^{B} \wedge \tau^{C}\}} \right]$

2. 违约偿付金贴现值：如果在违约之后的算帐时间为 $\delta$ . 则违约偿付金贴现值为

$(1-R)E\left[ e^{-r (\tau^{C} + \delta) } 1_{\tau^{C} \le T }1_{\{ \tau^{B} > \tau^{C} + \delta\}} \right]$

严肃C违约后, 只有在算帐时间T+ $\delta$ 之前B不发生违约的情况下 A才能收付到违约偿付金。

3. 保费的贴现值的累积（accrual). 这一单方主要是考虑从比来一次支出保费到违约之间的“单方保费”，在违约时答当由A向 B支出。

$S(T)A(T) = S(T) \sum_{i=1}^{n} E\left[ e^{-r \tau^{C}}\left( \frac{\tau^{C} - T_{i-1}} {\Delta T}\right) 1_{\{ T_{i-1} < \tau^{C} < T_{i} \}} 1_{ \{\tau^{B} > \tau^{C} \}} \right]$

末尾的保费公允值由等式(2) = (1) + (3) 得到。始末计算各个指看值，得到：

$S(T) = \frac{c_{0} e^{-(b_0 + b_2 + r)\delta}(1 - e^{-(b_0 + c_0 + r) T})}{b_0 + c_0 + r}\left[ \frac{e^{-(b_0 + c_0 + r) T} (1 - e^{-(b_0 + c_0 + r) n \Delta T}) } {1 - e^{-(b_0 + c_0 +r) \Delta T}} + \bar{A}(T)\right]^{-1}$ （1）

其中

$\bar{A}(T)=\frac{c_0}{\Delta T}\left[ \frac{1- e^{-(b_0 + c_0 + r)T}}{(b_0 + c_0 + r)^2} - \frac{Te^{-(b_0 + c_0 + r) T}}{b_0 + c_0 + r}\right] - \frac{c_0}{b_0 + c_0 + r}\sum^{N}_{i=1}T_{i-1} \left[ e^{-(b_0 + c_0 + r)T_{i-1}} - e^{-(b_0 + c_0 + r)T_{i}}\right]$

严密的推导过程可以参考文末文献。

以上公式中，乍一看令吾们吃惊的是公允保费（名誉价差）居然与 $c_2$ 无关（但与 $b_2$ 相关）。这其实是由于当B 违约之后， CDS也就间断中止了，这时候 C违约与否已经不主要了，行为其违约强度的增值， $c_2$ 当然也不会影响末尾的公允保费。

如果在（1）中漠视违约爱怜卖家B的违约风险，即 $b_0 = b_2 = 0$ , 则可得到

$S'(T) = \frac{c_{0} e^{-r\delta}(1 - e^{-(r+c_0) T})}{c_0 + r}\left[ \frac{e^{-(r+c_0) T} (1 - e^{-(r + c_0) n \Delta T}) } {1 - e^{-(r + c_0) \Delta T}} + \bar{A}'(T)\right]^{-1}$

$\bar{A}'(T)=\frac{c_0}{\Delta T}\left[ \frac{1- e^{-(c_0 + r)T}}{(c_0 + r)^2} - \frac{Te^{-(c_0 + r) T}}{c_0 + r}\right] - \frac{c_0}{ c_0 + r}\sum^{N}_{i=1}T_{i-1} \left[ e^{-(c_0 + r)T_{i-1}} - e^{-(c_0 + r)T_{i}}\right]$

始末计算 $V(T) = S'(T) - S(T)$ 可以计算由于CDS违约爱怜卖方违约风险引首的名誉价差的减量，也就是由于买方自己的名誉风险引首的名誉价差，即保费的扣头( 严肃该扣头不妨小于0，读者可以思考这是为什么）。明晰，印象该扣头最主要的影响因素是算帐时间 $\delta$ . 更长的算帐时间意味着 B违约的概率更大（严肃 C违约后B的违约强度从 $b_0$ 跳跃到 $b_0 + b_2$ .